Đạo hàm là một trong những chương kiến thức nền tảng và quan trọng nhất trong chương trình Toán học cấp 3. Việc nắm vững các công thức đạo hàm không chỉ giúp các bạn học sinh giải quyết tốt các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là chìa khóa để chinh phục các câu hỏi trong kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học.
Hiểu được những khó khăn đó, bài viết này sẽ tổng hợp lại toàn bộ các công thức từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo các dạng bài tập và mẹo ghi nhớ hiệu quả, giúp bạn tự tin hơn với phần kiến thức này. Việc học tốt không chỉ là mục tiêu của học sinh tại các trường cấp 3 ở hà nội mà là của tất cả các bạn trên cả nước.
Đạo Hàm Là Gì? Các Quy Tắc Tính Cơ Bản
Trước khi đi sâu vào bảng công thức chi tiết, chúng ta cần hiểu rõ bản chất và các quy tắc nền tảng của đạo hàm.
1. Định nghĩa đạo hàm
Trong giải tích, đạo hàm của một hàm số y = f(x) tại một điểm x0 là một đại lượng mô tả tốc độ biến thiên của hàm số tại chính điểm đó. Nó được ký hiệu là f'(x0) hoặc y'(x0) và được định nghĩa là giới hạn (nếu có) của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số khi số gia của đối số tiến về 0.
- Số gia của đối số: Δx = x − x0
- Số gia của hàm số: Δy = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0)
Đạo hàm có ý nghĩa to lớn trong thực tế, ví dụ như trong Vật lý, nó biểu thị vận tốc tức thời của một chuyển động tại một thời điểm nhất định.
2. Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản
Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm, ta có các quy tắc sau:
- Đạo hàm của tổng: (u + v)’ = u’ + v’
- Đạo hàm của hiệu: (u – v)’ = u’ – v’
- Đạo hàm của tích: (u.v)’ = u’.v + u.v’
- Đạo hàm của thương: (u/v)’ = (u’.v – u.v’) / v² (với v ≠ 0)
- Đạo hàm của hằng số: (k.u)’ = k.u’ (với k là hằng số)
Bảng Công Thức Đạo Hàm Đầy Đủ Nhất (Cập Nhật 2023)
Dưới đây là bảng tổng hợp đầy đủ các công thức bạn cần ghi nhớ, bao gồm cả hàm sơ cấp, lượng giác và hàm hợp.
Công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp
| Hàm số cơ bản (biến x) | Hàm số hợp (biến u) |
|---|---|
| (C)’ = 0 (C là hằng số) | |
| (x)’ = 1 | |
| (xⁿ)’ = n.xⁿ⁻¹ | (uⁿ)’ = n.uⁿ⁻¹.u’ |
| (√x)’ = 1 / (2√x) | (√u)’ = u’ / (2√u) |
| (1/x)’ = -1/x² | (1/u)’ = -u’/u² |
| (eˣ)’ = eˣ | (eᵘ)’ = eᵘ.u’ |
| (aˣ)’ = aˣ.lna | (aᵘ)’ = aᵘ.lna.u’ |
| (ln|x|)’ = 1/x | (ln|u|)’ = u’/u |
| (logₐ|x|)’ = 1/(x.lna) | (logₐ|u|)’ = u’/(u.lna) |
Công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác
| Hàm số cơ bản (biến x) | Hàm số hợp (biến u) |
|---|---|
| (sinx)’ = cosx | (sinu)’ = u’.cosu |
| (cosx)’ = -sinx | (cosu)’ = -u’.sinu |
| (tanx)’ = 1/cos²x | (tanu)’ = u’/cos²u |
| (cotx)’ = -1/sin²x | (cotu)’ = -u’/sin²u |
Các Dạng Bài Tập Đạo Hàm Thường Gặp Và Ví Dụ
Nắm vững lý thuyết là chưa đủ, bạn cần luyện tập qua các dạng bài tập cụ thể để thành thạo. Dưới đây là một số dạng toán phổ biến nhất.
Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa và công thức
Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu bạn áp dụng trực tiếp định nghĩa hoặc các công thức đã học để tìm đạo hàm của một hàm số cho trước.